4.设 $ϕ : G↦H$ 是一种群同态。证明：如果 $G$ 是循环群，则$ϕ(G)$ 也是循环群;如果$G$是交换群，则$ϕ(G)$也是交换群。
证：
如果$G$是循环群，令$g$为生成元，则对任意 $a ∈ G$ ，满足 $a = g^k$
$∴ϕ(a) = ϕ(g^k)$
由同态可知
$ϕ(g^k) = ϕ(gg...gg) = (ϕ(g))^k = ϕ(a)$
所以$ϕ(G)$ 也是循环群
如果$G$是交换群，则对任意$a,b ∈ G$，满足$ab=ba$
则 $ϕ(ab) = ϕ(ba)$
由同态可知
$ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)$
$ϕ(ba) = ϕ(b)ϕ(a)$
$∴ ϕ(a)ϕ(b) = ϕ(b)ϕ(a)$
所以$ϕ(G)$ 也是交换群
5.证明：如果 $H$ 是 群$G$ 上指标为2的子群，则$H$是群$G$的正规子群。
映射$gH↦(gH)^{–1} = Hg^{–1}$定义左陪集和H的右陪集之间的双射，因此左陪集的数量等于右陪集的数量。
$∵[G : H] = 2$
$∴$不同的左陪集个数为2
其中一个为$eH = H$
不同右陪集个数为2
其中一个为 $He = H$
当 $gH = H$ 时 $gH = eH = Hg$
当 $gH ∩ H = ∅$ 时显然 $Hg ∩ H = ∅$
$∵ H$的所有左(右)陪集划分群 $G$
$∴ gH = Hg$
所以 $H$ 是群 $G$ 的正规子群
6.证明：如果群$G$是阿贝尔群，则商群 $G/H$ 也是阿贝尔群。
$∵ G$ 是阿贝尔群 且 $H$ 是 $G$ 的 正规子群
$∴ gH = Hg , 其中 g ∈ G$
$∴任取 a,b ∈ G$
由上可得 $aH*bH = abH = a(bH) = aHb$
由封闭性可知 $Hb ⊆ G$
显然 $Hb$ 是 $G$ 的正规子群
$∴ aHb = Hba = baH$
∴ $abH = baH$
所以商群 $G/H$ 也是阿贝尔群。
7.证明：如果群G是循环群，则商群 G/H 也是循环群。
如果$G$是循环群，令$g$为生成元，则对任意 $a ∈ G$ ，满足 $a = g^k$
∵ $H$ 是 $G$ 的 正规子群
$∴ 任取 a ∈ G 有 aH = Ha$
显然 $HH = H$
由上可知 $aH = g^kH = gg..ggH = gg..ggHH..HH = gHgH...gH = (gH)^k$
所以商群 $G/H$ 也是循环群。